Dispones de una balanza de dos platos y de cuatro pesas de 1 g, 3 g, 9 g y 27 g. En cada pesada puedes colocar cada pesa en el plato izquierdo, en el derecho o dejarla fuera. ¿Qué pesos enteros exactos puedes equilibrar con esta balanza?
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Los cuatro pesos
Hints
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- En una balanza de dos platos, una pesa puede sumar o restar segĂșn el lado donde la pongas.
- Cierra la deducciĂłn comprobando que tu conclusiĂłn satisface todas las condiciones.
- Piensa en escribir el nĂșmero con coeficientes -1, 0, 1 delante de 1, 3, 9 y 27.
Solution
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Respuesta: se pueden equilibrar todos los pesos enteros de 0 a 40 g (de hecho, de -40 a 40).
Cada pesa puede actuar de tres formas: no usarla, ponerla en el plato opuesto (+p) o en el mismo plato del objeto (-p). Por tanto buscamos representaciones
a0*1 + a1*3 + a2*9 + a3*27, con ai in {-1,0,1}.
Eso es exactamente el ternario equilibrado. Con 1, 3, 9, 27 se representan de forma Ășnica todos los enteros entre -40 y 40. En particular, todos los enteros de 0 a 40.
Ejemplos:
- 2 = 3 - 1
- 8 = 9 - 1
- 20 = 27 - 9 + 3 - 1
- 40 = 27 + 9 + 3 + 1
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