En un tablero de ajedrez \(8\times 8\) se eliminan dos esquinas opuestas.
¿Es posible cubrir exactamente las 62 casillas restantes con dominós \(1\times 2\), sin solapamientos ni huecos?
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Tablero mutilado y dominós
El problema del tablero de ajedrez mutilado es un ejemplo perfecto del poder de los argumentos matemáticos no computacionales. Si se eliminan dos esquinas opuestas de un tablero de 8×8, la pregunta es si puede cubrirse completamente con fichas de dominó de 2×1.
Probar todas las combinaciones posibles llevaría una eternidad. Pero existe un argumento de una sola idea que resuelve el problema de forma definitiva y sin ningún cálculo.
Cuando lo ves, no puedes creer que no lo hayas pensado antes.
Pistas
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- No intentes probar colocaciones una por una.
- Cada dominó siempre cubre una casilla de cada color.
- Mira de qué color son las dos esquinas opuestas que se quitan.
Solución
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Respuesta: No se puede.
Un dominó siempre cubre 1 casilla blanca y 1 negra.
En un tablero 8x8 normal hay 32 blancas y 32 negras. Si quitas dos esquinas opuestas (mismo color), quedan 30 de un color y 32 del otro.
Como cada dominó cubre una de cada color, un recubrimiento completo exigiría igualdad de colores, que aquí no se cumple.
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