Una cuerda rodea la Tierra ajustada al ecuador. Después se alarga exactamente $2\pi$ metros y se coloca de nuevo formando una circunferencia concéntrica, separada uniformemente del suelo.
¿Cuánto se eleva la cuerda sobre la superficie?
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La cuerda alrededor de la Tierra
La cuerda alrededor de la Tierra es uno de los acertijos matemáticos más sorprendentes por la brecha abismal entre la intuición y la realidad. Si una cuerda rodea el ecuador ajustada al milímetro y se alarga apenas unos metros, ¿cuánto se separaría del suelo uniformemente?
Casi todo el mundo imagina una separación microscópica. Cuando descubres el resultado real, es difícil creer que las matemáticas no estén jugándote una mala pasada.
Pistas
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- No necesitas conocer el radio de la Tierra.
- La longitud inicial puede escribirse como $2\pi R$.
- La nueva longitud es $2\pi(R+h)$.
Solución
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Respuesta: se eleva 1 metro.
Sea $R$ el radio de la Tierra. La cuerda inicial mide:
$$ 2\pi R. $$
Al elevarse uniformemente una altura $h$, el nuevo radio es:
$$ R+h. $$
La nueva longitud es:
$$ 2\pi(R+h). $$
Como la cuerda se ha alargado $2\pi$ metros:
$$ 2\pi(R+h)-2\pi R=2\pi. $$
Al simplificar:
$$ 2\pi h=2\pi. $$
Por tanto:
$$ h=1. $$
Así que la cuerda queda a 1 metro del suelo en toda la vuelta.
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