En un tablero de ajedrez 8x8 quitas dos esquinas opuestas.
¿Se puede cubrir exactamente el resto del tablero con dominós 1x2, sin solapar ni dejar huecos?
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Tablero mutilado y dominós
El problema del tablero de ajedrez mutilado es un ejemplo perfecto del poder de los argumentos matemáticos no computacionales. Si se eliminan dos esquinas opuestas de un tablero de 8×8, la pregunta es si puede cubrirse completamente con fichas de dominó de 2×1.
Probar todas las combinaciones posibles llevaría una eternidad. Pero existe un argumento de una sola idea que resuelve el problema de forma definitiva y sin ningún cálculo.
Cuando lo ves, no puedes creer que no lo hayas pensado antes.
Pistas
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- No sigas todos los pasos: busca una magnitud que se conserve.
- Prueba con paridad (par/impar) o con un conteo que no cambie bajo la operación dada.
- Cuando identifiques el invariante, conecta ese dato inicial con la conclusión final.
Solución
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Respuesta: No se puede.
Un dominó siempre cubre 1 casilla blanca y 1 negra.
En un tablero 8x8 normal hay 32 blancas y 32 negras. Si quitas dos esquinas opuestas (mismo color), quedan 30 de un color y 32 del otro.
Como cada dominó cubre una de cada color, un recubrimiento completo exigiría igualdad de colores, que aquí no se cumple.
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