Respuesta: Sí, siempre se puede. La estrategia universal es codificar el escaque secreto con XOR sobre índices $0,\dots,63$.
1) Codificación del tablero
- Numera los 64 escaques como $0,1,\dots,63$.
- Define un bit por escaque: cara $=1$, cruz $=0$.
- Sea $T$ el índice secreto marcado por el guardia.
Calcula el XOR de todos los escaques en cara:
$$
X=\bigoplus_{i:\,b_i=1} i.
$$
2) Qué moneda voltear
El primer prisionero calcula:
$$
F=X\oplus T.
$$
- Si $F=0$, no hace falta voltear ninguna (permitido: como máximo una).
- Si $F\neq0$, voltea exactamente la moneda del escaque $F$.
3) Prueba de corrección
Voltear $F$ cambia el XOR global en $\oplus F$, luego el segundo prisionero ve:
$$
X'=X\oplus F.
$$
Sustituyendo:
$$
X'=X\oplus(X\oplus T)=(X\oplus X)\oplus T=T.
$$
Por tanto, el XOR final leído por el segundo prisionero es exactamente el índice secreto.
4) Ejemplo completo
Si las caras están en $\{2,5,9,12\}$, entonces:
$$
X=2\oplus5\oplus9\oplus12=2.
$$
Si el guardia marca $T=11$:
$$
F=2\oplus11=9.
$$
Se voltea el escaque 9 y el XOR final pasa a ser 11, que identifica el escaque secreto.
5) Lectura metodológica
El truco no depende del estado inicial: el primer prisionero envía 6 bits de información (índice 0..63) mediante una única inversión controlada. Eso garantiza éxito en todos los casos.