Respuesta: cada prisionero debe seguir el ciclo que empieza en la caja con su propio número.
La estrategia es esta:
- El prisionero $i$ abre primero la caja número $i$.
- Si dentro encuentra su propio número, ha terminado.
- Si encuentra otro número, abre la caja que tiene ese número escrito fuera.
- Repite el proceso hasta encontrar su número o hasta haber abierto 50 cajas.
¿Por qué funciona? La colocación de los números dentro de las cajas define una permutación de los números del 1 al 100: cada caja numerada apunta al número que contiene.
Al empezar por la caja $i$ y seguir los números encontrados, el prisionero recorre exactamente el ciclo de esa permutación que contiene su número. Encontrará su número si y solo si ese ciclo tiene longitud como máximo 50.
Por tanto, todos sobreviven exactamente cuando la permutación no tiene ningún ciclo de longitud mayor que 50.
La probabilidad de que exista un ciclo de longitud $k$, para $k>50$, es $1/k$. Como no puede haber dos ciclos de longitud mayor que 50 al mismo tiempo, la probabilidad de fracaso es:
$$
\frac1{51}+\frac1{52}+\cdots+\frac1{100}.
$$
Así que la probabilidad de éxito es:
$$
1-\left(\frac1{51}+\frac1{52}+\cdots+\frac1{100}
ight),
$$
aproximadamente un 31%.
Frente a abrir cajas al azar, cuya probabilidad colectiva sería cercana a $(1/2)^{100}$, la estrategia por ciclos es enormemente mejor.