Respuesta: eligen un contador. Cada uno de los otros 99 prisioneros debe enviar exactamente dos señales: cada vez que entre y encuentre la bombilla apagada, la enciende, hasta haberlo hecho dos veces en total.
La estrategia es esta:
- Antes de empezar, designan a un prisionero como contador.
- Cada prisionero que no sea el contador lleva su propia cuenta de señales enviadas.
- Si uno de ellos entra, ve la bombilla apagada y todavía ha enviado menos de dos señales, la enciende.
- Si ya ha enviado sus dos señales, no vuelve a tocar la bombilla.
- Si entra y la bombilla está encendida, no hace nada.
- El contador, cada vez que entra y ve la bombilla encendida, la apaga y suma 1 a su cuenta.
- Cuando el contador llega a 198, declara que todos han pasado por la sala.
¿Por qué funciona?
Hay 99 prisioneros que no son el contador, y cada uno debe aportar dos señales:
$$
99\cdot 2=198.
$$
Si la bombilla empezó apagada, las 198 señales contadas proceden necesariamente de esos 99 prisioneros. Por tanto, todos ellos han pasado.
Si la bombilla empezó encendida, el contador podría contar al principio una señal que no fue enviada por ningún prisionero. Pero incluso en ese caso, al llegar a 198 cuentas, al menos 197 señales reales habrán sido producidas por los no-contadores.
Si alguno de los 99 no-contadores no hubiera pasado nunca por la sala, los otros 98 solo podrían aportar como máximo:
$$
98\cdot 2=196
$$
señales reales. Sumando la posible señal inicial falsa, el contador no podría llegar a 198.
Por tanto, cuando el contador llega a 198, todos los no-contadores han pasado al menos una vez. Y el contador también ha pasado, porque él mismo ha entrado para contar. Así puede declarar con certeza que todos han estado en la sala.