El verdugo y los sombreros (3 colores)

1. La primera persona quizá no pueda salvarse, pero sí puede dejar una información útil a los demás.
2. Con tres colores, esa información ya no puede reducirse a una simple oposición entre dos casos.
3. Busca una forma de codificar, en una sola palabra, una relación global entre los colores que ve.

Respuesta: se garantizan 9 salvados.

Codificación: rojo=0, azul=1, verde=2 (módulo 3).

Sea $x_1,\dots,x_{10}$ el valor real de cada sombrero.

La persona 10 (primera en hablar), que ve $x_1,\dots,x_9$, dice:

$$ y_{10}\equiv-(x_1+\cdots+x_9)\pmod 3. $$

Puede fallar, pero deja fijada la ecuación:

$$ y_{10}+x_1+\cdots+x_9\equiv0\pmod3. $$

Persona 9 conoce $y_{10}$, ve $x_1,\dots,x_8$ y despeja $x_9$:

$$ x_9\equiv-\big(y_{10}+x_1+\cdots+x_8\big)\pmod3. $$

La dice y acierta.

Luego persona 8 ya conoce $x_9$ (oído), ve $x_1,\dots,x_7$ y despeja $x_8$; y así sucesivamente hasta la 1.

Todas excepto la primera quedan determinadas de forma única.

Garantía: 9 salvados siempre; la primera solo tiene probabilidad $1/3$ de acertar.