Respuesta: María tiene razón.
Si $R_n$ es el número de bolas rojas tras $n$ turnos, entonces los valores posibles son
$$
1,2,\dots,n+1,
$$
y todos son equiprobables:
$$
\mathbb{P}(R_n=k)=\frac{1}{n+1}
\qquad (k=1,2,\dots,n+1).
$$
Prueba por inducción.
Para $n=0$, solo puede haber 1 bola roja, así que la afirmación es cierta.
Supongamos ahora que tras $n$ turnos la distribución es uniforme. Queremos calcular la probabilidad de terminar con $k$ bolas rojas tras $n+1$ turnos.
Eso puede pasar de dos maneras:
- que tras $n$ turnos hubiese $k-1$ rojas y se extraiga una roja;
- o que tras $n$ turnos hubiese $k$ rojas y se extraiga una azul.
Por tanto,
$$
\mathbb{P}(R_{n+1}=k)
=
\mathbb{P}(R_n=k-1)\frac{k-1}{n+2}
+
\mathbb{P}(R_n=k)\frac{n+2-k}{n+2}.
$$
Usando la hipótesis inductiva,
$$
\mathbb{P}(R_n=k-1)=\mathbb{P}(R_n=k)=\frac1{n+1},
$$
así que
$$
\mathbb{P}(R_{n+1}=k)
=
\frac1{n+1}\cdot\frac{k-1}{n+2}
+
\frac1{n+1}\cdot\frac{n+2-k}{n+2}
=
\frac1{n+2}.
$$
Eso vale para cada $k=1,2,\dots,n+2$.
Luego, también en el paso $n+1$, la distribución vuelve a ser uniforme.
Así que María gana la apuesta.