Las 12 monedas y la balanza

1. Cuenta primero las hipótesis posibles: hay 12 monedas y cada una podría ser más pesada o más ligera.
2. Diseña la primera pesada para separar esas hipótesis en grupos lo más equilibrados posible.
3. La clave es que cada resultado de pesada (izquierda, equilibrio, derecha) debe conducir a un subproblema distinguible en las siguientes pesadas.

Respuesta: Sí, se puede identificar la moneda falsa y decidir si es más pesada o más ligera en exactamente 3 pesadas.

1) Marco de información (por qué 3 pesadas alcanzan)

Cada pesada tiene 3 resultados posibles: izquierda baja, equilibrio, derecha baja.
Con 3 pesadas hay hasta

$$ 3^3=27 $$

patrones posibles.

Las hipótesis reales son 24:

• 12 opciones de moneda falsa,
• y para cada una, dos tipos: pesada o ligera.

Como $27>24$, una estrategia bien diseñada puede distinguir todos los casos.

2) Primera pesada (partición principal)

Pesada 1:

$$ (1,2,3,4)\,\text{vs}\,(5,6,7,8). $$

Se abren 3 ramas.

Caso A: equilibrio

Entonces la falsa está en $\{9,10,11,12\}$.

Pesada 2:

$$ (9,10,11)\,\text{vs}\,(1,2,3) $$

(donde 1,2,3 son buenas).

• Si equilibra: la falsa es 12.

Pesada 3: $12$ vs $1$.

• si baja 12: 12 es pesada;
• si sube 12: 12 es ligera.
• Si baja el lado $9,10,11$: la falsa es una de esas y es pesada.

Pesada 3: $9$ vs $10$:

• si baja 9: 9 pesada;
• si baja 10: 10 pesada;
• si equilibran: 11 pesada.
• Si sube el lado $9,10,11$: la falsa es una de esas y es ligera.

Pesada 3: $9$ vs $10$:

• si sube 9: 9 ligera;
• si sube 10: 10 ligera;
• si equilibran: 11 ligera.

Caso B: en pesada 1 baja la izquierda

Candidatos:

• pesada en $\{1,2,3,4\}$, o
• ligera en $\{5,6,7,8\}$.

Pesada 2:

$$ (1,2,5)\,\text{vs}\,(3,6,9) $$

con 9 buena.

• Si equilibra: candidatos $\{4\text{ pesada},7\text{ ligera},8\text{ ligera}\}$.

Pesada 3: $7$ vs $8$:

• si equilibran: 4 pesada;
• si baja 7: 8 ligera;
• si baja 8: 7 ligera.
• Si baja izquierda: candidatos $\{1\text{ pesada},2\text{ pesada},6\text{ ligera}\}$.

Pesada 3: $1$ vs $2$:

• si equilibran: 6 ligera;
• si baja 1: 1 pesada;
• si baja 2: 2 pesada.
• Si baja derecha: candidatos $\{3\text{ pesada},5\text{ ligera}\}$.

Pesada 3: $3$ vs $9$:

• si equilibran: 5 ligera;
• si baja 3: 3 pesada.

Caso C: en pesada 1 baja la derecha (simétrico de B)

Candidatos:

• pesada en $\{5,6,7,8\}$, o
• ligera en $\{1,2,3,4\}$.

Pesada 2:

$$ (5,6,1)\,\text{vs}\,(7,2,9) $$

con 9 buena.

• Si equilibra: candidatos $\{8\text{ pesada},3\text{ ligera},4\text{ ligera}\}$.

Pesada 3: $3$ vs $4$:

• si equilibran: 8 pesada;
• si baja 3: 4 ligera;
• si baja 4: 3 ligera.
• Si baja izquierda: candidatos $\{5\text{ pesada},6\text{ pesada},2\text{ ligera}\}$.

Pesada 3: $5$ vs $6$:

• si equilibran: 2 ligera;
• si baja 5: 5 pesada;
• si baja 6: 6 pesada.
• Si baja derecha: candidatos $\{7\text{ pesada},1\text{ ligera}\}$.

Pesada 3: $7$ vs $9$:

• si equilibran: 1 ligera;
• si baja 7: 7 pesada.

3) Conclusión metodológica

No se trata de memorizar una tabla: se trata de construir un árbol de decisión donde cada resultado reduce el conjunto de hipótesis sin ambigüedad. Esta estrategia separa las 24 hipótesis en 3 niveles y siempre termina con identificación única.