La moneda falsa entre doce

1. Cada pesada tiene tres resultados posibles: izquierda baja, derecha baja o equilibrio.
2. Con dos pesadas hay como máximo 9 patrones, pero hay 24 casos posibles.
3. Una primera pesada adecuada es comparar las monedas 1, 2, 3, 4 contra 5, 6, 7, 8.

Respuesta: el mínimo es 3 pesadas.

Primero veamos por qué no pueden bastar 2 pesadas. Cada pesada tiene tres resultados posibles, así que dos pesadas solo permiten distinguir:

$$ 3^2=9 $$

patrones de resultados.

Pero hay 24 casos que distinguir: cualquiera de las 12 monedas puede ser falsa, y además puede ser más pesada o más ligera. Por tanto, 2 pesadas no bastan.

Con 3 pesadas hay:

$$ 3^3=27 $$

patrones posibles, así que en principio sí hay información suficiente. Ahora damos una estrategia que lo consigue.

Numera las monedas del 1 al 12.

Primera pesada

Pesa:

$$ 1,2,3,4\quad\text{contra}\quad 5,6,7,8. $$

Hay dos tipos de caso.

Caso 1: la primera pesada se equilibra

Entonces las monedas 1 a 8 son auténticas. La falsa está entre 9, 10, 11 y 12.

Segunda pesada: pesa 9, 10, 11 contra 1, 2, 3.

• Si se equilibran, la falsa es la 12. Tercera pesada: pesa 12 contra 1 para saber si es más pesada o más ligera.
• Si 9, 10, 11 pesan más, la falsa está entre 9, 10 y 11, y es más pesada. Tercera pesada: pesa 9 contra 10. Si una pesa más, esa es la falsa; si equilibran, la falsa es 11.
• Si 9, 10, 11 pesan menos, la falsa está entre 9, 10 y 11, y es más ligera. Tercera pesada: pesa 9 contra 10. Si una pesa menos, esa es la falsa; si equilibran, la falsa es 11.

Caso 2: la primera pesada no se equilibra

Supongamos, para fijar ideas, que 1, 2, 3, 4 pesan más que 5, 6, 7, 8. Entonces la falsa está entre estas ocho posibilidades:

• 1, 2, 3, 4 pesada;
• 5, 6, 7, 8 ligera.

Las monedas 9, 10, 11 y 12 son auténticas.

Segunda pesada:

$$ 1,2,5\quad\text{contra}\quad 3,6,9. $$

Ahora hay tres resultados posibles.

• Si se equilibran, quedan solo 4 pesada, 7 ligera u 8 ligera. Tercera pesada: pesa 7 contra 8. Si una pesa menos, esa es la falsa; si se equilibran, la falsa es 4 y es más pesada.
• Si el lado izquierdo pesa más, las únicas posibilidades compatibles son 1 pesada, 2 pesada o 6 ligera. Tercera pesada: pesa 1 contra 2. Si una pesa más, esa es la falsa y es más pesada; si se equilibran, la falsa es 6 y es más ligera.
• Si el lado derecho pesa más, las únicas posibilidades compatibles son 3 pesada o 5 ligera. Tercera pesada: pesa 3 contra una moneda auténtica, por ejemplo 9. Si 3 pesa más que 9, la falsa es 3 y es más pesada; si se equilibran, la falsa es 5 y es más ligera.

Si en la primera pesada hubiera ocurrido lo contrario —si 5, 6, 7, 8 hubieran pesado más que 1, 2, 3, 4—, se usa el mismo razonamiento intercambiando los lados y cambiando “pesada” por “ligera” donde corresponda.

Así, 3 pesadas bastan siempre, y 2 no pueden bastar.