Inicio > Acertijos > Suma y producto
Suma y producto es un acertijo de lógica matemática que desafía la intuición desde el primer minuto. Aunque el planteamiento parece sencillo, resolverlo exige interpretar con precisión cada condición y evitar conclusiones rápidas.
Es una excelente práctica para fortalecer el razonamiento en el archivo de acertijos. Lee el enunciado completo e intenta llegar a tu propia respuesta antes de pasar a la explicación.
Dos enteros distintos \(x\) e \(y\) cumplen \(2 \le x < y \le 99\).
A una persona se le comunica la suma \(S=x+y\), y a otra el producto \(P=xy\).
Conversación:
¿Cuáles son \(x\) e \(y\)?
Respuesta:
$$ (x,y)=(4,13). $$
El diálogo funciona porque cada frase elimina un bloque entero de posibilidades.
Trabajamos en el dominio
$$
2\le x y llamamos $$
S=x+y,\qquad P=xy.
$$ La primera frase, la de Producto —“No sé cuáles son”—, solo dice que su producto no determina de manera única el par. Hasta ahí no hay nada extraordinario. La segunda es la decisiva al principio: Suma afirma que ya sabía que Producto no podría saberlo. Eso significa que, para toda descomposición posible de su suma, $$
S=a+b,
$$ el producto $ab$ tiene que admitir más de una factorización válida en el intervalo. ¿Por qué? Porque si una de esas descomposiciones fuese, por ejemplo, $(2,p)$ con $p$ primo, entonces el producto sería $2p$ y Producto sí podría identificar enseguida el par. Por tanto, las sumas compatibles con esa frase son solo aquellas que nunca pueden escribirse como $2+$ primo dentro del dominio. Al hacer la criba completa quedan exactamente: $$
\{11,17,23,27,29,35,37,41,47,53\}.
$$ Ahora entra la tercera frase: Producto, después de oír eso, sí consigue identificar el par. Luego su producto debe tener varias factorizaciones al principio, pero solo una de ellas con suma perteneciente al conjunto anterior. Eso ocurre con $$
P=52,
$$ porque sus descomposiciones válidas son: Y de esas dos, solo 17 sobrevive a la criba de Suma. Por eso, al oír la segunda frase, Producto ya puede concluir que el par es $$
(4,13).
$$ Falta comprobar la cuarta frase: que Suma, sabiendo $S=17$, pueda deducir también el par después de oír a Producto. Las parejas con suma 17 son: $$
(2,15),(3,14),(4,13),(5,12),(6,11),(7,10),(8,9).
$$ Sus productos son, respectivamente: $$
30,\ 42,\ 52,\ 60,\ 66,\ 70,\ 72.
$$ Si Suma examina cada uno, ve que todos salvo 52 siguen siendo ambiguos incluso después de la segunda frase. En cambio 52 solo puede venir de $(4,13)$ dentro de las sumas admitidas. Así que la cuarta frase también encaja. Por tanto, la única pareja compatible con todo el diálogo es: $$
\boxed{(4,13)}.
$$
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