El torneo de los empates

1. Si el cuarto tiene muchos puntos, los tres primeros deben tener aún más.
2. La suma máxima de puntos del torneo ocurre cuando no hay empates.
3. Después de encontrar una cota superior, falta construir una clasificación que la alcance.

Respuesta: la mayor puntuación posible del cuarto clasificado es 5 puntos.

Llamemos a las puntuaciones finales, de mayor a menor:

$$ s_1>s_2>s_3>s_4>s_5. $$

Queremos maximizar $s_4$.

Supongamos que el cuarto clasificado pudiera tener al menos 6 puntos. Como las cinco puntuaciones son distintas, los tres equipos por encima de él tendrían que tener al menos 7, 8 y 9 puntos, en algún orden.

Por tanto, los cuatro primeros sumarían como mínimo:

$$ 9+8+7+6=30. $$

Pero en una liguilla de cinco equipos hay

$$ \binom{5}{2}=10 $$

partidos, y cada partido reparte como máximo 3 puntos. Así que el total máximo de puntos del torneo es:

$$ 10\cdot3=30. $$

Eso obligaría a que los cinco equipos sumaran exactamente 30 puntos, sin ningún empate, y a que las cuatro primeras puntuaciones fueran exactamente 9, 8, 7 y 6. Pero si no hay empates, cada equipo solo suma puntos de victorias, así que todas las puntuaciones deben ser múltiplos de 3.

Las puntuaciones 8 y 7 serían imposibles.

Por tanto, el cuarto clasificado no puede llegar a 6 puntos. Así que

$$s_4\le 5.$$

Ahora falta ver que 5 sí se puede alcanzar. Una clasificación posible es:

$$10,7,6,5,0.$$

Se puede obtener, por ejemplo, con estos resultados:

• Equipo A: gana a B, C y D; empata con E. Termina con 10.
• Equipo B: gana a C y D; empata con E; pierde con A. Termina con 7.
• Equipo C: gana a D y E; pierde con A y B. Termina con 6.
• Equipo E: gana a D; empata con A y B; pierde con C. Termina con 5.
• Equipo D: pierde todos sus partidos. Termina con 0.

Así las puntuaciones son distintas y el cuarto clasificado tiene 5 puntos.

Por tanto, la mayor puntuación posible del cuarto clasificado es 5 puntos.