Los interruptores y el millón de bombillas

1. Mira una bombilla concreta: cambia una vez por cada divisor de su número.
2. Casi todos los divisores vienen en parejas.
3. Solo los cuadrados perfectos tienen un divisor sin pareja.

Respuesta: Quedan encendidas exactamente 1000 bombillas: las que ocupan posiciones cuadradas perfectas.

Explicación:

La bombilla $n$ cambia de estado una vez por cada divisor positivo de $n$, porque la acciona toda persona cuyo número divide a $n$.

Normalmente los divisores vienen en parejas: si $d$ divide a $n$, también divide $n/d$. Eso produce un número par de cambios y la bombilla termina apagada.

La única excepción son los cuadrados perfectos. Por ejemplo, en 36 aparece el divisor 6 emparejado consigo mismo, y por eso el número total de divisores es impar. Las bombillas con un número impar de cambios quedan encendidas.

Entre 1 y 1.000.000 hay exactamente 1000 cuadrados perfectos:

$$ 1^2,2^2,\dots,1000^2. $$