Un hotel tiene infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, …, y todas están ocupadas.
Llega ahora una cola infinita de huéspedes nuevos, numerados \(g_1, g_2, g_3, \dots\).
¿Cómo puede alojarlos a todos?
Inicio > Acertijos > El hotel de Hilbert II
El hotel de Hilbert II
El hotel infinito de Hilbert es la forma más accesible y poderosa de entender las paradojas del infinito matemático. Un hotel con infinitas habitaciones, todas ocupadas, recibe nuevos huéspedes.
Muchos más. Grupos infinitos de ellos.
Y sin embargo siempre hay sitio. Formulado por el matemático David Hilbert, este experimento mental es el punto de entrada a la teoría de conjuntos de Cantor y al concepto de cardinalidad, ideas que revolucionaron las matemáticas modernas y que siguen siendo contraintuitivas incluso para mentes entrenadas.
Pistas
Mostrar pistas
- No intentes encontrar una habitación libre: fabrícala desplazando a los huéspedes actuales.
- Una buena estrategia es mandar a todos los huéspedes antiguos a un subconjunto infinito de habitaciones.
- Si los antiguos ocupan todas las pares, las impares quedan libres para los nuevos.
Solución
Mostrar solución completa
Respuesta: Basta con mover a cada huésped actual de la habitación \(n\) a la habitación \(2n\). Entonces los nuevos huéspedes ocupan las impares: \(g_1\) va a la 1, \(g_2\) a la 3, \(g_3\) a la 5, y así sucesivamente.
Explicación:
El hotel está lleno, pero eso no impide reorganizarlo.
- Las habitaciones pares son infinitas.
- Las habitaciones impares también son infinitas.
Si envías a cada huésped antiguo de \(n\) a \(2n\), todos siguen teniendo habitación y no hay colisiones, porque dos números distintos producen habitaciones pares distintas.
Después quedan libres todas las impares. Y como también forman una colección infinita numerable, puedes asignarlas una a una a los huéspedes nuevos.
La idea central es que un conjunto infinito puede redistribuirse de modo que una parte infinita siga quedando libre.
Acertijos relacionados
Sigue entrenando
Si te gustó este reto, prueba más acertijos de lógica pura, explora esta temática, revisa el archivo completo o mira la guía para resolver acertijos.