Las pesas del mercader

1. Poder poner pesas en ambos platos cambia por completo el problema.
2. Cada pesa puede ayudar de tres maneras: sumando, compensando o quedándose fuera.
3. Busca una elección de pesas que permita construir cualquier cantidad pequeña sin dejar huecos.

Respuesta: Las pesas deben ser de 1, 3, 9 y 27 kilos.

Explicación:

Como las pesas pueden ponerse en ambos platos, cada una de ellas puede contribuir de tres maneras:

• no usarla;
• ponerla en el plato opuesto al objeto, lo que equivale a sumar su peso;
• ponerla en el mismo plato que el objeto, lo que equivale a restarlo.

Eso significa que cada pesa funciona como un “dígito” con valores \(-1\), \(0\) o \(1\). La base natural para este tipo de representación es, por tanto, la de las potencias de 3:

\[ 1,\ 3,\ 9,\ 27. \]

Con esas cuatro pesas se puede escribir cualquier entero entre 1 y 40 como combinación de la forma

\[ a_0\cdot 1+a_1\cdot 3+a_2\cdot 9+a_3\cdot 27, \qquad a_i\in\{-1,0,1\}. \]

Eso es exactamente el ternario equilibrado.

Ejemplos:

• \(2 = 3-1\),
• \(8 = 9-1\),
• \(20 = 27-9+3-1\),
• \(40 = 27+9+3+1\).

Por tanto, las únicas pesas que permiten cubrir todas las cantidades enteras de 1 a 40 kilos con solo cuatro piezas son 1, 3, 9 y 27.