Respuesta: la mayor probabilidad de éxito es $3/4$.
La estrategia es esta:
- si un jugador ve dos sombreros del mismo color, dice que el suyo es del color contrario;
- si ve dos sombreros de distinto color, se calla.
Hay $2^3=8$ distribuciones posibles de sombreros, todas igual de probables.
Si los tres sombreros son iguales —todos rojos o todos azules—, cada jugador ve dos sombreros iguales y aplica la regla. Los tres hablan y los tres fallan. Esos son los dos casos perdidos.
En cualquier otra distribución, hay dos sombreros de un color y uno del otro. Entonces el jugador que lleva el color minoritario ve dos sombreros iguales, habla y acierta. Los otros dos ven colores distintos y se callan.
Por tanto, el grupo gana en 6 de los 8 casos:
$$
\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.
$$
Falta ver por qué no puede hacerlo mejor. Los 8 casos pueden agruparse en 4 parejas complementarias, donde se invierten todos los colores.
Una estrategia segura no puede ganar en los dos casos de cada pareja si en ambos alguien tuviera que hablar con la misma información visual invertida. Eso fuerza al menos 2 casos perdidos.
Como la estrategia anterior pierde exactamente 2, es óptima.