El código con checksum y reverso

1. Si llamas abcd al código, la condición del reverso compara dcba con abcd.
2. La diferencia puede escribirse usando solo las diferencias d − a y c − b.
3. Cuando uses la condición de la última cifra, recuerda que no exige igualdad con la suma completa, sino igualdad módulo 10.

Respuesta:

$$3924.$$

Sea el código $abcd$. El número obtenido al invertir sus cifras es $dcba$.

Como ese reverso supera al original por 369 unidades:

$$ dcba-abcd=369. $$

Es decir:

$$ (1000d+100c+10b+a)-(1000a+100b+10c+d)=369. $$

Agrupando:

$$ 999(d-a)+90(c-b)=369. $$

Dividimos entre 9:

$$ 111(d-a)+10(c-b)=41. $$

Como $a,b,c,d$ son cifras, las diferencias $d-a$ y $c-b$ están entre $-9$ y $9$. Para que

$$ 111(d-a)+10(c-b)=41, $$

la única posibilidad es:

$$ d-a=1,\qquad c-b=-7. $$

Por tanto:

$$ d=a+1,\qquad c=b-7. $$

Ahora usamos la condición de la última cifra:

$$ d\equiv a+b+c\pmod{10}. $$

Sustituyendo $d=a+1$ y $c=b-7$:

$$ a+1\equiv a+b+(b-7)\pmod{10}. $$

Luego:

$$ 1\equiv 2b-7\pmod{10}, $$

de modo que

$$ 2b\equiv 8\pmod{10}. $$

Así que $b$ debe ser congruente con 4 módulo 5. Además, como $c=b-7$ debe ser una cifra, $b$ solo puede ser 7, 8 o 9. De esos tres valores, el único congruente con 4 módulo 5 es:

$$b=9.$$

Entonces:

$$c=2.$$

Queda usar que el código es múltiplo de 9. La suma de sus cifras debe ser múltiplo de 9:

$$a+9+2+(a+1)=2a+12.$$

Como $a$ es una cifra y $d=a+1$, la única posibilidad válida es:

$$2a+12=18,$$

así que

$$a=3,$$

Entonces:

$$d=4.$$

El código es:

$$3924.$$

Comprobación: sus cifras son distintas; $3+9+2+4=18$, luego es múltiplo de 9; $3+9+2=14$, cuyo resto al dividir entre 10 es 4; su reverso es 4293, y $4293-3924=369$.