Hay dos sobres. Uno contiene el doble de dinero que el otro.
Eliges uno al azar y lo abres: dentro hay 20 €.
Te ofrecen cambiar al otro sobre.
¿Conviene cambiar? Justifica con cuidado qué puede y qué no puede concluirse a partir de esa información.
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El sobre y los billetes
El sobre y los billetes es un acertijo de probabilidad y razonamiento lógico que desafía la intuición desde el primer minuto. Aunque el planteamiento parece sencillo, resolverlo exige interpretar con precisión cada condición y evitar conclusiones rápidas.
Es una excelente práctica para fortalecer el razonamiento en el archivo de acertijos. Lee el enunciado completo e intenta llegar a tu propia respuesta antes de pasar a la explicación.
Pistas
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- El fallo no está en sumar esperanzas, sino en cómo se están asignando las probabilidades.
- Ver 20 € no basta, por sí solo, para tratar como simétricas las dos posibilidades restantes.
- Antes de decidir si conviene cambiar, distingue entre la cantidad observada y la manera en que se generaron los sobres.
Solución
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Respuesta: No se puede concluir, solo por ver 20 €, que cambiar sea mejor.
Explicación:
La tentación es razonar así: en el otro sobre hay o bien 40 € o bien 10 €, cada caso con probabilidad \(1/2\). Entonces su valor esperado sería
\[ \frac12\cdot 40+\frac12\cdot 10=25, \]
y parecería que conviene cambiar.
El problema no está en la cuenta, sino en la suposición previa. Después de abrir un sobre y ver 20 €, no sabes todavía si ese sobre era el grande o el pequeño, pero esas dos posibilidades no tienen por qué ser equiprobables.
Para decidirlo haría falta conocer cómo se eligieron las cantidades iniciales o qué distribución de probabilidades rige el contenido de los sobres.
Sin ese modelo previo, la observación “he visto 20 €” no basta para deducir que el otro sobre tenga un valor esperado mayor.
Por tanto, con la información dada, no hay motivo matemático sólido para preferir cambiar. La llamada “paradoja” nace de asignar sin justificación probabilidades de \(1/2\) a dos casos que no están definidos de ese modo.
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