Inicio > Acertijos > La urna que se delata
La urna que se delata es un acertijo de probabilidad y razonamiento lógico que funciona muy bien para medir precisión lógica bajo presión. La clave está en leer con calma, separar datos de suposiciones y construir un argumento consistente de principio a fin.
Es una práctica excelente dentro de el archivo de acertijos para quienes quieren mejorar su forma de pensar problemas complejos. Intenta resolverlo antes de consultar la solución completa.
Una urna contiene 100 bolas. Algunas son rojas y las demás, verdes.
No sabes cuántas rojas hay, salvo esto: el número de bolas rojas se eligió al azar con la misma probabilidad entre 0 y 100.
Sacas una bola. Sale roja y la apartas.
Ahora vas a sacar una segunda bola de la misma urna.
¿Cuál es la probabilidad de que esta segunda bola también sea roja?
Sea $k$ el número de bolas rojas. Antes de mirar nada, todos los valores
$$ k=0,1,2,\dots,100 $$
son equiprobables.
Pero al observar que la primera bola sale roja, los valores grandes de $k$ pasan a ser más plausibles que los pequeños, porque una urna con muchas rojas tenía más opciones de producir esa observación.
La cuenta limpia es esta.
Si hay $k$ rojas, la probabilidad de sacar roja primero y roja después es
$$ \frac{k}{100}\cdot\frac{k-1}{99}, $$
mientras que la probabilidad de sacar roja primero es
$$ \frac{k}{100}. $$
Al promediar sobre todos los valores posibles de $k$ y condicionar por haber visto roja primero, el resultado se reduce a comparar
$$ \sum_{k=0}^{100} k(k-1) $$
con
$$ 99\sum_{k=0}^{100} k. $$
Al hacer la cuenta se obtiene exactamente
$$ \frac23. $$
Por tanto, la probabilidad de que la segunda bola también sea roja es
$$ \frac23. $$
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